Formulario FIS140

Formulario FIS140Common knowledgeOndasEcuación general de ondaInterferenciaConstructivaDestructivaOndas mecánicasDopplerOndas ElectromagnéticasEcuaciones de MaxwellRelatividadTransformada de LorentzCaso especial: Dilatación del tiempoCaso especial: Contracción de longitudes

Common knowledge

Intensidad: velocidad $\times$ densidad de energía

Intensidad: Potencia por unidad de área

$P=I\cdot A\\$

Fuerza: diferencia de momentum en un intervalo de tiempo

$F=\frac{dp}{dt}\quad p=m\cdot v$

Potencia: cantidad de trabajo en unidad tiempo

$\frac{dw}{dt}=P$

Teorema trabajo energía: trabajo neto realizado es equivalente al cambio de energía

$dw=dE_k$

Ondas

Ecuación general de onda

$\nabla^2\psi=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$

donde $v$ es la velocidad de propagación.

Interferencia

Sean

$\begin{align} \psi_1&=\cos{kr_1-\omega t}\\ \psi_2&=\cos{kr_2-\omega t + \phi} \end{align}$

Se debe analizar $\Delta\phi=k(r_2-r_1)-\phi$ para reforzar o neutralizar las ondas en cuestión

Constructiva

$k\Delta r-\phi=2n\pi\quad\Rightarrow\quad k\Delta r-\phi=n\lambda\ k$

Destructiva

$k\Delta r-\phi=(2n+1)\pi\quad\Rightarrow\quad k\Delta r-\phi=(2n+1)\frac{\lambda}{2}k$

Ondas mecánicas

Doppler

$f_r=f_e\frac{v_s\pm v_r}{v_s\mp v_e}$

Ondas Electromagnéticas

Ecuaciones de Maxwell

Forma diferencial:

$\begin{align} \nabla\cdot\vec{E}&=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \\ \nabla\cdot\vec{B}&=0\\ \\ \nabla\times\vec{E}&=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\ \\ \nabla\times\vec{B}&=\mu_0\vec{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{dt} \end{align}$

Recordar que: en el vacío $\rho=0$ y $\vec J=0$ .

Forma integral:

$\begin{align} \oint\vec E\cdot d\vec A&=\frac{Q}{\epsilon_0}\\ \\ \oint\vec B\cdot d\vec A&=0\\ \\ \oint\vec E\cdot d\vec s&=-\frac{\partial\Phi_B}{\partial t}\quad\text{con}\quad\Phi_B=\int\vec B\cdot d\vec A\\ \\ \oint\vec B\cdot d\vec s&=\mu_0I+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \Phi_E}{\partial t}\quad \text{con}\quad \Phi_E=\int\vec{E}\cdot d\vec A \end{align}$

Velocidad de la luz (propagación de la onda EM en el vacío):

$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\cdot\epsilon_0}}$

Momentum electromagnético:

$dp=\frac{dE}{c}$

entones tenemos que:

$\begin{align} F_{em}&=\frac{dp}{dt}\\ &=\frac{dE}{dt}\frac{1}{c}\\ &=\frac{P}{c}\\ &=\frac{I\cdot A}{c} \end{align}$

Ejemplo solución campo eléctrico:

$\vec{E}(z, t) = E_0cos(kz-\omega t)\hat{x}$

Ejemplo solución campo magnético:

$\vec{B}(z, t)=B_0\cos(kz-\omega t)\hat{y}$

Recordar que la dirección de propagación está dada por $\vec{E}\times\vec{B}$

Sin ordenar:

$||\vec{E}||=c\ ||\vec{B}||$

Poynting:

$\vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}$

Notar que:

$I=\frac{||\vec{S}||}{2}\\ I=\frac{c\ \epsilon_0\ E_0^2}{2}$

Densidad de energía eléctrica: $\dfrac{\epsilon_0E_0^2}{2}$

Densidad de energía magnética: $\dfrac{B_0^2}{2\mu_0}$

Densidad de energía EM en el vacío: $\epsilon_0E_0^2$

de esto último se puede obtener $I=\text{vel}\times\text{dens. e.}=c\epsilon_0E_0^2$

Presión de radiación:

$p_{\text{rad}}=\frac{I}{c}$

Reflexión y refracción

Índice de refracción: $n=\dfrac{c}{v_{\text{medio}}}$

Ley de Snell:

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\\ n_1\lambda_1=n_2\lambda_2$

Facts:

La frecuencia es constante entre medios.
Pendiente: desfases en reflexión.

Ángulo crítico: ángulo en el que la refleción es completa (no existe transmisión). El rayo reflectado forma un ángulo de 90º con la normal.

Polarizadores

Cuando la onda EM no viene polarizada, la intensidad resultante al pasar por un polarizador es de $I_1=\dfrac{I_0}{2}$
Cuando la onda EM está polarizada, la intensidad resultante al pasar por un polarizador es de $I_1=I_0\cos^2\theta$ , donde $\theta$ es la diferencia de ángulo entre el polarizador y el ángulo en que la onda estaba polarizada.
Se dice que una onda está polarizada linealmente cuando la diferencia de fase entre sus componentes es $n\pi$
Se dice que una onda está polarizada circularmente cuando la diferencia de fase entre sus componenetes es $(2n+1)\dfrac{\pi}{2}$
En otro caso se dice que la onda esta polarizada elípticamente.

Difracción

Una ranura:

Mínimos de difracción:

$a\sin\theta=n\lambda$

donde $a$ es la apertura de la ranura.

Intensidad:

$I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}}\right)^2$

con $\beta=k\ a\ \sin\theta$

N ranuras:

Mínimos de difracción: se mantienen

Máximos de interferencia:

$d\sin\theta=n\lambda$

Mínimos de interferencia:

$d\sin\theta=(2n+1)\frac{\lambda}{2}$

Intensidad:

$I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}}\right)^2\left\{\frac{\sin{\frac{N\phi}{2}}}{\sin{\frac{\phi}{2}}}\right\}^2$

con $\phi=k\ d\ \sin\theta$

Relatividad

Trabajaremos con la teoría de la relatividad especial que considera sistemas incerciales ( $a=0$ ).

Transformada de Lorentz

$\begin{align} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\\ \\ x&=\gamma(x'+v\cdot t')\\ \\ y&=y'\\ \\ t&=\gamma\left(t'+\frac{v}{c^2}x'\right)\\ \\ \frac{dx}{dt}=v_x&=\frac{v'_x+v}{1 + \frac{v}{c^2}v'_x}\\ \\ \frac{dy}{dt}=v_y&=\frac{v'_y}{\gamma(1+\frac{v}{c^2}v'_x)} \end{align}$

Caso especial: Dilatación del tiempo

Ocurre cuando $\Delta x'$ = 0

$\Delta t = \gamma\Delta t'$

con $\Delta t'=\Delta t_0$ (tiempo propio)

Caso especial: Contracción de longitudes

Ocurre cuando $\Delta t' = 0$

$\Delta x = \gamma \Delta x'$

con $\Delta x'=\Delta x_0$ (largo propio)